“思维可视化”在数学教学中的应用 
思维比知识更重要， 这是不争的事实，离开“思维”的“知识”就变成“死知识”，而学“死知识”的过程当然就变成“死学习” ，“死学习”靠的是“机械重复” ，所以必然是枯燥的、低效的、令人厌倦的，更重要的是“死学习”会使学生长期处于“浅思考”甚至“不思考”状态 ，从而导致思维能力发展受阻。而思维能力又是学习能力的核心，思维能力发展不起来，学习必然会越来越吃力，这样便进入一种不断加深的恶性循环。因此，提高教学效能的关键并不于在“知识重复的次数”，而在“挖掘与呈现知识背后的思维规律并训练学生掌握它”。只有这样，学生的思维能力才会在学习的过程中得到有效发展，同时会使学生对知识的理解更深入、更透彻、更系统，从而进入会学、乐学的良性循环。    在学习数学广角——田忌赛马的策略时，当我出示题目：有12张卡片，排成一行，紫色卡片放在最后。然后规定两个人轮流拿，每人每次只能拿1~4个，最后谁拿到紫色卡片就算赢。    看题目后，学生毫无头绪，思维陷入蒙圈的状态。看到这种情况，为了让学生的思维活起来，我给学生准备了磁卡。推演学生的思维过程，让他们建立模型思想。    刚开始玩了2次，每次我都稳赢，最后总能留5张卡片给学生，就像下面这样：      一开始学生还认为是我的运气好，但输了几次后学生们就感觉不对劲了，因为他们发现如果最后还剩5张卡片的话，那么无论他是拿多少张卡片，最后的紫色卡片总是我的。比如他如果拿走1张卡片，那么下一轮我就取走4个；如果他拿走2张卡片，我就取走3个；……反正不管怎样，紫色卡片最后一定归我所有！    学生陷入了激烈的讨论和争辩中，老师老师，我知道了，我知道了，他们强烈地要求他先拿卡片，也不管我同意不同意，直接唰唰抢走了2张卡片，留下10张卡片给我，然后不断催我“你快拿你快拿”……   学生们还是聪明的，瞬间识破了我的把戏，他们知道只要留给对方5个或者10个积木，就一定能赢！    学生们打开了思维，发现了诀窍，于是我又加大了难度，又加了3张卡片在里面，现在一共有15张卡片了。     学生们迫不及待嚷着先拿的时候，突然发现了哪儿有点不对劲，因为这回如果他们先拿的话，不管怎样，我都能拿到最后的紫色积木。如果他们拿走4张，我就会拿走1个，留给他10个。如果他拿走3张，我就会拿走2个，还是留给他10个。
……     这回他们又开始总结规律了，原来只要每次留给对手的卡片数量是5、10、15……这样5的倍数，那么自己就一定能赢，这个认知比之前又更进了一步！因此，他们学精了，他总结了一个规律：如果一开始卡片数量不是5的倍数，那么他们一定会抢第一个先走。而如果一开始卡片数量是5的倍数，那么他们却反过来拼命地让我先走！思维进阶成功！思考方法和思考路径已经打通，被可视化的“思维”大大提升学生理解和记忆能力，有效提高知识加工及信息传递的能力。    为了进一步激发学生的思维，让学生的思维更活跃。我略微更改题目。有12张卡片，每次可以拿1~4张，谁拿到紫色卡片就算输！     学生一看题目，高呼简单，看起来跟之前也没啥区别吗，仍然想用之前的方法来套路我，不过却惊奇地发现，之前的套路完全不灵了！如果给对方留下5张卡片的话，那么最后一个拿到紫色卡片的，肯定是自己……      但是，如果留给对方6张卡片的话，那么最后一个拿到紫色卡片的，却会是对方！      再进一步想，如果给对方留下的卡片数量是6、11、16、21……这样的数字序列的话，那么对方肯定必输无疑！    经过这样的思维训练后，我感觉学生们的数学功底精进不少。要提高教学效能，我们就必须变“强调答案”为“强调答案的生成过程”，变“依靠感性经验答题”为“运用理性思考解题”，而这就要求我们必须要把“看不见的”思维的过程和方法清晰地呈现出来，以便更好地理解、记忆和运用，从而达到提高学生的能力。