巧算“方中圆”和“圆中方”阴影部分面积

华龙区实验小学  赵翠萍

学了圆的知识，奇奇和妙妙发现，中国建筑中经常见到外方内圆和外圆内方的设计，很是叹服。怎样求正方形和圆之间部分的面积呢，我们一起来梳理。

奇奇自告奋勇：我来梳理外方内圆：

如果圆的半径为r，那么圆的面积为S=πr²=3.14r²，

圆的半径为r,则正方形的边长就是2r,

正方形的面积就是S=2r×2 r=4 r²

正方形和圆之间部分的面积用：

S正-S圆=4 r²-πr²=4 r²-3.14 r²=0.86 r²

妙妙：我来梳理外圆内方：

如果圆的半径为r，那么圆的面积S圆=πr²，

正方形的对角线把正方形分成了两个完全相同的三角形，三角形的底是圆的直径，即2r，高是r，正方形的面积就是两个三角形的面积和。S正=2r×r÷2×2=2r² 

圆和正方形之间面积是S正-S圆=πr²-2 r²=3.14r²-2 r²=1.14r²

奇奇说：“妙妙，我来考考你？请求出下图中阴影部分的面积。”

妙妙：本题属于外方内圆，两个半圆就是一个圆，求阴影部分就是求圆和正方形之间部分的面积。

r=50px

方法一：0.86r²=0.86×2²=3.44(平方厘米)

方法二：整体－空白

（2×2）²－3.14×2²

=16－12.56

=3.44（平方厘米）

奇奇：这两种方法都能解决问题，显然方法一更简便。

妙妙：奇奇，我也来考考你。求下图阴影部分的面积。

r =250px

奇奇：这道题求阴影部分的面积，首先做一条辅助线，再经过拼补，

其实是右图外圆内方求圆和正方形之间的面积的1/4。

     r =250px

方法一：1.14r²÷4=1.14×10²÷4=28.5（平方厘米）。

方法二：整体－空白

3.14×10²÷4－10×10÷2

       =78.5－50

       =28.5（平方厘米）

老师：奇奇和妙妙非常善于思考和总结，接下来让我们进一步探讨有趣的方中圆，圆中方。

如图：正方形内画一个最大的圆，圆内再画一个最大的正方形，正方形内再画一个最大的圆。你知道他们的比分别就多少吗？

奇奇：我来试一试。

大圆半径为r，圆的面积S圆=πr²

大正方形的边长等于圆的直径，大正方形的面积是S正=2r×2r=4r²

小正方形被分成了两个完全相同的三角形，三角形的对角线是2r，高是r，小正方形的面积是2r×r÷2×2=2r²

那么由此我们可以得到：

大正方形面积和圆的面积比就是4r²：πr²=4:π

圆与小正方形的面积πr²：2r²=π：2

大正方形面积比小正方形的面积等于4r²：2r²=2：1

根据他们比的关系让我们做题速度飞起来。已知大正方形面积为4平方厘米，求小正方形的面积是多少？

根据大正方形面积和小正方形的面积比比是2:1，那么大正方形面积就是小正方形面积的两倍，小正方的面积就用40÷2=20（平方厘米）

老师：奇奇真的是一位会学习的孩子，如果再在小正方形内画一个最大的圆呢，大圆与小圆的面积会比是多少呢？先猜一猜。

妙妙：大正方形与小正方形的面积比是2:1，我猜大圆与小圆的面积比也是2:1。

老师：亲爱的同学们，你们能验证吗？